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Title
Die zweidimensionale hyperbolische Geometrie in komplexer Darstellung / vorgelegt von Lisa Maria Schellauf
Additional Titles
The two-dimensional hyperbolic geometry in complex representation
AuthorSchellauf, Lisa Maria
CensorReich, Ludwig
Published2013
Description47 Bl. : Zsfassungen (2 Bl.) + 1 CD-ROM ; graph. Darst.
Institutional NoteGraz, Univ., Dipl.-Arb., 2013
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Arbeit an der Bibliothek noch nicht eingelangt - Daten nicht geprüft
Abweichender Titel laut Übersetzung der Verfasserin/des Verfassers
Zsfassung in dt. und engl. Sprache
LanguageGerman
Document typeThesis (Diplom)
Keywords (GND)Hyperbolische Geometrie
URNurn:nbn:at:at-ubg:1-55920 Persistent Identifier (URN)
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Die zweidimensionale hyperbolische Geometrie in komplexer Darstellung [0.6 mb]
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Abstract (German)

Die Aufgabe der vorliegenden Diplomarbeit ist es die Grundlagen der 2-dimensionalen hyperbolischen Geometrie? im Rahmen der Geometrie der Möbiustransformationen, das heißt in komplexer Schreibweise, darzustellen. ?Als Vorbereitung dazu dient Kapitel 2, in dem die Kreisgleichung, die Gleichung einer Geraden (also die Gleichungen von Möbiuskreisen),?die stereographische Projektion und die Gruppe der Möbiustransformationen in der komplexer Schreibweise eingeführt werden.? Ferner werden grundlegende Eigenschaften der Möbiustransformationen, wie die Kreistreue, Fixpunkte, Invarianz des ?Doppelverhältnisses und Winkeltreue in dieser Schreibweise betrachtet.? Als Vorbereitung für die Geometrie einer Transformationsgruppe behandeln wir Kreisbündel und Kreisbüschel. Der Hauptteil meiner Diplomarbeit findet sich in Kapitel 3.? Hier werden geeignete Untergruppen der Gruppe aller Möbiustransformationen als Transformationsgruppen eingeführt. Nach einer kurzen Beschreibung der euklidischen Geometrie wird die hyperbolischen Geometrie im Einheitskreis als Gruppe der Gruppe der sogenannten hyperbolischen Bewegungen eingeführt und die hyperbolische Distanz,?hyperbolische Geraden und Dreiecke, sowie die Grundelemente der hyperbolischen Trigonometrie , also Winkelmessung und Flächenmessung?(einschließlich einiger elementargeometrischen Sätze der hyperbolischen Geometrie) entwickelt. Bei der Abfassung dieser Arbeit habe ich mich besonders auf folgende Bücher gestützt: H. Schwerdtfeger: Geometry of complex numbers,Oliver and Boyd LTD., 1962 C. Caratheodory: Funktionentheorie I, Birkhäuser Verlag Basel, 1960 ?C.L. Siegel:Vorlesung über ausgewählte Kapitel der Funktionentheorie, Teil II E. Peschl : Funktionentheorie, Band 1,Bibliographisches Institut AG, 1967 Zur Veranschaulichung des geometrischen Inhalts einiger Begriffe und Resultaten habe ich an mehreren Stellen Skizzen eingefügt.

Abstract (English)

The object of this thesis is to present the basics of the 2-dimensional hyperbolic geometry within the geometry of the Möbius-transformations, that is in complex notation. Chapter 2 serves as a preparation in which the equation of circle, the equation of a straight line (that is, the equations of Möbius-circles), stereographic projection and the group of Möbius-transformations are introduced in the complex notation. Furthermore, basic properties of Möbius transformations, such as invariance of the set of circels, fixed points, invariance of cross ratio and conformality are considered in this notation. In preparation for the geometry of a transformation group we treat bundles of circels and pencils of circels. The main part of my thesis can be found in Chapter 3. Here suitable subgroups of the group of all Möbius transformations are introduced as transformation groups. After a brief description of Euclidean geometry the hyperbolic geometry in the unit circle is introduced as the geometry of the group of the so-called hyperbolic motion and the hyperbolic distance,hyperbolic straight lines and triangles, as well as the basic elements of the hyperbolic trigonometry, so angle measurement and area measurement (including some elementary geometric sets of hyperbolic geometry) are developed. When writing this work I have particularly used the following books: H. Schwerdtfeger: Geometry of complex numbers,Oliver and Boyd LTD., 1962 C. Caratheodory: Funktionentheorie I, Birkh ?auser Verlag Basel, 1960 C.L. Siegel:Vorlesung ?uber ausgew ?ahlte Kapitel der Funktionentheorie, Teil II E. Peschl : Funktionentheorie, Band 1,Bibliographisches Institut AG, 1967 To illustrate the geometric content of some concepts and results at several points I included sketches.

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