Titelaufnahme

Titel
Nonlinearity conditions for the convergence analysis of regularization methods for nonlinear Ill-posed problems / vorgelegt von Isabell Piantschitsch
Verfasser/ VerfasserinPiantschitsch, Isabell
Begutachter / BegutachterinKaltenbacher Barbara
Erschienen2012
Umfang107 Bl. : 2 Zsfassungen
HochschulschriftGraz, Univ., Dipl.-Arb., 2012
Anmerkung
Zsfassung in dt. und engl. Sprache
SpracheEnglisch
DokumenttypDiplomarbeit
Schlagwörter (GND)Inverses Problem / Regularisierungsverfahren / Inverses Problem / Regularisierungsverfahren / Online-Publikation
URNurn:nbn:at:at-ubg:1-38885 Persistent Identifier (URN)
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Nonlinearity conditions for the convergence analysis of regularization methods for nonlinear Ill-posed problems [0.59 mb]
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Klassifikation
Zusammenfassung (Deutsch)

Typische Eigenschaften inverser Probleme sind einerseits ihre Instabilität, die ausder Tatsache resultiert, dass die Ursache-Wirkungs-Abbildung im Allgemeinenglättend wirkt und andererseits die mögliche Mehrdeutigkeit von Lösungen.Um diese Schwierigkeiten beheben zu können und die inversen Probleme näherungsweise stabil zulösen, verwendet man sogenannte Regularisierungsmethoden. Um diesezur Anwendung bringen zu können, benötigen wir einerseitsQuellbedingungen an die Differenz zwischen einer a priori Näherung und einerunbekannten Lösung der dem inversen Problem entsprechenden nichtlinearenOperatorgleichung F(x) = y wobei F : D(F)?X -> Y ein nichtlinearer Operatorzwischen Hilberträumen X und Y ist. Diese Bedingungen können auchals abstrakte Glattheitsbedingungen interpretiert werden, da die Konvergenz derRegularisierungsmethoden beliebig langsam sein kann und Konvergenzraten nurdann erreicht werden können, wenn Bedingungen an die Regularität der exaktenLösung der Operatorgleichung gefordert werden. Andererseits, und in dieserDiplomarbeit von zentraler Bedeutung, benötigen wir für eine Konvergenzanalyseder Regularisierungsmethoden stärkere Bedingungen an F' als nur die übliche Lipschitzstetigkeit,nämlich sogenannte Nichtlinearitätsbedingungen, welche etwa alsBedingungen an den Restterm der Taylorentwicklung erster Ordnung auftreten können. Gemeinsam mit den Quellbedingungen erlauben diese eine Konvergenzanalyse der verschiedenen Verfahren. Die bereits genannten Nichtlinearitätsbedingungen sind über die gesamte einschlägige Literatur verstreut, außerdemwurden ihre Beziehungen zueinander bisher nur teilweise untersucht. Deshalbist es Ziel dieser Diplomarbeit, eine umfassende Sammlung und Vervollständigungjener, auf den ersten Blick durchaus sehr unterschiedlichen, Bedingungendurchzuführen sowie ihre Beziehungen einer genauen Untersuchung zu unterziehenund die entsprechenden Beweise zu ergänzen bzw. zu vervollständigen.

Zusammenfassung (Englisch)

Instability resulting from the smoothing property of cause-effect mapping as well as the pos-sible ambiguity of solutions are typical characteristics of inverse problems. In orderto overcome these difficulties and to stably solve inverse problems, whose solutionsdo not depend stably on the input-data, so-called regularization methods are ap-plied. In order to implement such regularization methods we are in need of sourceconditions regarding the difference between an a priori approximation and anunknown solution of a nonlinear operator eqation F(x) = y corresponding to theinverse problem, where F : D(F)?X -> Y can be defined as a nonlinear operatorbetween the Hilbert spaces X and Y . These conditions can also be interpreted asabstract smoothness conditions as the convergence of the regularization methodscan be arbitrary slow and rates of convergence can only be reached if conditionsare set to the regularity of the operator equation`s exact solution . On the otherhand, and central to the aim of this master`s thesis, as far as convergence analysisof regularization methods is concerned, we are in need of stronger conditions to F'other than the conventional Lipschitz continuity. So-called nonlinearity conditionsmight, for instance, emerge as conditions to the Taylor remainder of the first orderor as invariance of the image of F'. Together with source conditions, nonlinearityconditions allow a convergence analysis of the different practices, which has beenconducted extensively in literature. In addition to being scattered over the exist-ing literature, the relations between the already-mentioned nonlinearity conditionshave only been examined partly. Thus, the purpose of this master`s thesis is toprovide a comprehensive collection and completion of these relations, which mightappear to be very different at a rst glance. In addition, these relations shall beanalyzed more closely and the respective proofs shall be amended or completed.