Titelaufnahme

Titel
Uniform convergence of the Pod method and applications to optimal control / vorgelegt von Markus Müller
Verfasser/ VerfasserinMüller, Markus
Begutachter / BegutachterinKunisch Karl ; Volkwein Stefan
Erschienen2011
Umfang98 S. : Zsfassung ; graph. Darst.
HochschulschriftGraz, Univ., Diss., 2011
Anmerkung
Zsfassung in dt. und engl. Sprache
SpracheEnglisch
Bibl. ReferenzOeBB
DokumenttypDissertation
Schlagwörter (GND)POD-Methode / Gleichmäßige Konvergenz / Optimale Kontrolle / POD-Methode / Gleichmäßige Konvergenz / Optimale Kontrolle / Online-Publikation
URNurn:nbn:at:at-ubg:1-29863 Persistent Identifier (URN)
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Uniform convergence of the Pod method and applications to optimal control [8.29 mb]
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Klassifikation
Zusammenfassung (Deutsch)

"Proper orthogonal decomposition" (POD) ist eine Galerkin-basierte Technik zur Modellredkution von Evolutionsgleichungen. Eine "POD Basis" liefert eine optimale Darstellung von "Snapshots"' des dynamischen Systems. Diese Basis wird verwendet, um reduzierte Modelle (ROM) des Systems herzuleiten. Für fixierte Daten sind solche Modelle analytisch gut verstanden. In dieser Arbeit leiten wir Fehlerabschätzungen für ein lineares, abstraktes parabolisches Evolutionsproblem her, die die uniforme Konvergenz der POD-ROM Lösung bzgl. der rechten Seite zeigen und auch eine Konvergenzrate beinhalten.Verwendet man die POD Methode im Zusammenhang mit optimaler Steuerung, kann das Problem der "unmodeled dynamics"' auftreten: Die POD Basiselemente wurden für eine bestimmte Referenztrajektorie berechnet, welche Eigenschaften aufweisen kann, die sich wesentlich von denen der optimal gesteuerten Trajektorie unterscheiden. Im Verfahren "Optimality Systems POD" (OS-POD) wird dieses Problem vermieden, indem das Optimalitätssystem des Kontrollproblems um die POD Basis-Kriterien erweitert wird. Für ein linear-quadratisches Steuerungsproblem wenden wir das uniforme POD Konvergenzresultat an, um die Konvergenz der optimalen ``OS-POD Steuerung'' zur optimalen Steuerung zu zeigen, falls die Dimension des POD-reduzierten Systems gegen unendlich strebt.Wir untersuchen numerische Beispiele, die illustrieren sollen, dass selbst unter schlechten Ausgangsbedingungen, die die klassische POD Methode scheitern lassen, das OS-POD Basisupdate zufriedenstellende Steuerungsergebnisse liefert. Abschließend stellen wir eine Erweiterung des POD-reduzierten Modells um eine zeitabhängige Basisfunktion vor. Damit soll das Problem reduziert werden, dass die POD Approximationsqualität schlechter wird, falls die Lösung einen stark konvektiven Charakter besitzt.

Zusammenfassung (Englisch)

"Proper orthogonal decomposition" (POD) is a powerful Galerkin type technique for model reduction of evolution systems. A "POD basis" presents an optimal representation of "snapshots" of the dynamical system. The POD basis is then used to derive reduced-order models (ROM) of the system. For fixed data, these models are analytically well understood. In this thesis, we derive error estimates for linear abstract parabolic evolution problems which establish the uniform convergence of the POD-ROM solution w.r.t. the right-hand side and also give a convergence rate.Using the POD method in the context of optimal control, the problem of "unmodeled dynamics" may arise: The POD basis elements are computed from a reference trajectory which may contain features which are quite different from those of the optimally controlled trajectory. In Optimality Systems POD (OS-POD), this problem is avoided by augmenting the optimality system of the control problem with the POD basis generation criteria. Here, for a linear quadratic control problem, we apply the uniform POD convergence result in order to prove the convergence of the optimal "OS-POD control" to the full-order optimal control as the dimension of the POD low-order system goes to infinity.We study numerical examples which shall illustrate that even under bad starting conditions which cause the classical POD method to fail, the OS-POD basis update still leads to satisfactory control results. Finally, a method of adding a time-dependent basis function to the POD low-order model is proposed. The purpose of that approach is to tackle the problem that the POD approximation quality becomes worse if the solution exhibits a strong convective behaviour.