Titelaufnahme

Titel
Non-unique factorizations : a semigroup-theoretic algorithmic approach with applications to non-principal orders in algebraic number fields / eingereicht von Andreas Philipp
Verfasser/ VerfasserinPhilipp, Andreas
Begutachter / BegutachterinHalter-Koch Franz ; Pedro A. Garcìa Sànchez
Erschienen2011
Umfang83 Bl. : Zsfassung
HochschulschriftGraz, Univ., Diss., 2011
Anmerkung
Zsfassung in dt. u. engl. Sprache
SpracheEnglisch
Bibl. ReferenzOeBB
DokumenttypDissertation
Schlagwörter (GND)Geordnete Halbgruppe / Algebraischer Zahlkörper / Geordnete Halbgruppe / Algebraischer Zahlkörper / Online-Publikation
URNurn:nbn:at:at-ubg:1-20222 Persistent Identifier (URN)
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Non-unique factorizations [1.37 mb]
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Klassifikation
Zusammenfassung (Deutsch)

Die Hauptordnung $mathcal O_K$ in einem algebraischen Zahlkörper ist ein Dedekindbereich und ihre Arithmetik wird vollständig durch die Picardgruppe $pic(mathcal O_K)$ bestimmt. Insbesondere ist $mathcal O_K$ genau dann faktoriell, wenn die Picardgruppe trivial ist, und $mathcal O_K$ ist genau dann halbfaktoriell, wenn $#pic(mathcal O_K)leq 2$. Im Gegensatz dazu sind nicht-maximale Ordnungen nie vollständig ganz abgeschlossen, und daher nie faktoriell. Weiters hängt ihre Arithmetic nicht nur von ihrer Picardgrupp sondern auch von den Lokalisierungen an singulären Primidealen ab. Eine nicht-maximale Ordnung $mathcal O$ mit $#pic(mathcal O)geq 3$ erbt viele arithmetische Eigenschaften von der maximalen Ordnung. Über die Arithmetik von nicht-maximalen Ordnungen, deren Picardgruppe maximal zwei Elemente enthält, ist jedoch nur wenig bekannt, nicht einmal falls alle Lokalisierungen halbfaktoriell sind. In diesem Fall formulieren wir einen neuen halbgruppentheoretischen Zugang basierend auf dem Monoid der Relationen. Unter Verwendung dieser Maschinerie und bekannter Transferprinzipien können wir eine explizite Beschreibung verschiedener arithmetischer Invarianten wee der Elastizität $ho(mathcal O)$, der Distanzenmenge $minDelta(mathcal O)$, des Verkettungsgrades $mathsf c(mathcal O)$, des monotonen Verkettungsgrades $mathsf c_

Zusammenfassung (Englisch)

The maximal order $mathcal O_K$ of an algebraic number field is a Dedekind domain, and its arithmetic is completely determined by its Picard group $pic(mathcal O_K)$. In particular, $mathcal O_K$ is factorial if and only if its Picard group is trivial and $mathcal O_K$ is half-factorial if and only if $#pic(mathcal O_K)leq 2$. In contrast, non-principal orders are not integrally closed, hence they are never factorial, and their arithmetic depends not only on their Picard group but also on the localizations at singular primes. A non-principal order $mathcal O$ with $#pic(mathcal O) ge 3$ inherits many arithmetical properties from the maximal order. In contrast, only little is known about the arithmetic of non-principal orders whose Picard group has at most two elements, even if all localizations are half-factorial. In this case, we formulate a new semi-group theoretic approach based on monoids of relations. Using this machinery and common transfer principles, we are able to give a quite explicit description of various arithmetical invariants in various situations such as the elasticity $ho(mathcal O)$, the set of distances $minDelta(mathcal O)$, the catenary degree $mathsf c(mathcal O)$, the monotone catenary degree $mathsf c_