Titelaufnahme

Titel
Arithmetic theory of orders over Dedekind domains / Andreas Reinhart
Verfasser/ VerfasserinReinhart, Andreas
Begutachter / BegutachterinHalter-Koch Franz ; Tichy Robert
Erschienen2010
Umfang32 Bl.
HochschulschriftGraz, Univ., Diss., 2010
Anmerkung
Zsfassung in dt. Sprache
SpracheEnglisch
Bibl. ReferenzOeBB
DokumenttypDissertation
Schlagwörter (GND)Dedekind-Zahlentheorie / Kongruenzklassengruppe / Dedekind-Zahlentheorie / Kongruenzklassengruppe / Online-Publikation
URNurn:nbn:at:at-ubg:1-17992 Persistent Identifier (URN)
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Arithmetic theory of orders over Dedekind domains [0.39 mb]
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Zusammenfassung (Deutsch)

Die Ideal- und Divisorenklassengruppen arithmetisch relevanter Objekte sind ein zentraler Gegenstand klassischer algebraisch-zahlentheoretischer Untersuchungen. Dagegen sind Ideal- und Idealklassenhalbgruppen erst in neuerer Zeit genauer studiert worden. Bazzoni (2000) charakterisierte ganz-abgeschlossene Bereiche, deren Idealklassenhalbgruppe eine Cliffordhalbgruppe ist. Verallgemeinerungen und Verschärfungen ihrer Resultate für Prüfer v-Multiplikationsbereiche und allgemeine Prüfermonoide stammen von Kabbaj-Mimouni (2007) und Halter-Koch (2009). Bereits 1961 studierten Dade, Taussky und Zassenhaus (DTZ) die Idealklassenhalbgruppe von Ordnungen über Dedekindbereichen und bewiesen deren pi-Stabilität. Halter-Koch (2007) dehnte die Resultate von DTZ auf die (Klassen-)halbgruppe der Gitter über Dedekindbereichen (in einer festen algebraischen Erweiterung) aus. In der vorliegenden Arbeit verallgemeinere und ergänze ich die Resultate von DTZ und Halter-Koch. Im ersten Teil studiere ich für ein beliebiges Idealsystem r auf einem Monoid die Struktur der r-Ideal(klassen-)halbgruppe. Im zweiten Teil untersuche ich die Halbgruppe der semidivisoriellen Gitter über einem Bereich in einer endlichen Erweiterung des Quotientenkörpers (für Krullbereiche ist semidivisoriell dasselbe wie reflexiv). Unter geeigneten idealtheoretischen Voraussetzungen an die zugrunde liegenden Bereiche (welche insbesondere für Krullbereiche erfüllt sind) bestimme ich die Idempotenten und beweise Kriterien für die pi*-Stabilität der Bereiche und Vollständigkeit der untersuchten Halbgruppen. Die abstrakte Theorie wird durch eine Reihe nichttrivialer Beispiele ergänzt, welche insbesondere die Sinnhaftigkeit der gemachten Voraussetzungen illustrieren. Insbesondere werden Beispiele von noetherschen 2-dimensionalen Bereichen angegeben deren Führer v-idempotent ist. Weiters erfolgt die Angabe von nicht-trivialen Bereichen deren v-Idealhalbgruppe fast vollständig ist.

Zusammenfassung (Englisch)

The ideal and divisor class group of relevant arithmetic objects have been a central topic of investigations in algebra and number theory. On the contrary, the corresponding semigroups have only recently been studied more extensively. Bazzoni (2000) characterized integrally closed domains whose ideal class semigroup is a Clifford semigroup. In the case of Prüfer v-multiplication domains and general Prüfer monoids her results were generalized and strenghtened by Kabbaj-Mimouni (2007) and Halter-Koch (2009). Already in 1961, Dade, Taussky and Zassenhaus (DTZ) investigated the ideal class semigroup of orders over Dedekind domains and proved that they are pi-stable. Halter-Koch (2007) extended their results to the case of (class-)semigroup of lattices over Dedekind domains (in a fixed finite algebraic extension). In the present work, I generalize and replenish the results of DTZ and Halter-Koch. In the first part I study the structure of the r-ideal(class-)semigroups built by an arbitrary ideal system r on a monoid. In the second part I investigate the semigroup of semidivisorial lattices over a domain in a finite algebraic extension of its field of quotients (for Krull domains semidivisoriality coincides with reflexivity). Under suitable conditions on the underlying domains (which are in particular satisfied by Krull domains), I determine the idempotents and provide criteria for the pi*-stability of the domains and for the completeness of the investigated semigroups. The abstract theory is complemented by a series of examples, which in particular illustrate the reasonableness of the assumptions made in the theory. Among others, I present examples of two-dimensional noetherian domains having a v-idempotent conductor, and non-trivial examples of domains with an almost complete v-ideal semigroup.