Titelaufnahme

Titel
Harmonic cohomology on Poisson manifolds / vorgelegt von Oliver Ebner
Verfasser/ VerfasserinEbner, Oliver
Begutachter / BegutachterinHaller Stefan
Erschienen2009
UmfangV, 59 Bl. : Zsfassung ; graph. Darst.
HochschulschriftGraz, Univ., Dipl.-Arb., 2009
Anmerkung
Zsfassung in dt. Sprache
SpracheEnglisch
DokumenttypDiplomarbeit
Schlagwörter (GND)Poisson-Mannigfaltigkeit / Kohomologie
URNurn:nbn:at:at-ubg:1-13679 Persistent Identifier (URN)
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Zusammenfassung (Deutsch)

Diese Diplomarbeit behandelt eine relativ neue Invariante der Poisson-Geometrie, die sogennante harmonische Kohomologie. J.-L. Brylinski begann1988 mit dem Studium eines Kodifferentialoperators des De Rham-Komplexes einer Poisson-Mannigfaltigkeit. Er vermutete, dass jede Kohomologieklasseeiner geschlossenen symplektischen Mannigfaltigkeit einenharmonischen - d.h. geschlossenen und kogeschlossenen - Repräsentantenbesitzt. Dies wurde 1995 von O. Mathieu widerlegt, der zeigte, dass dieBrylinski-Vermutung nur für Lefschetz-Mannigfaltigkeiten wahr ist. ImBeweis seines Kriteriums führte er eine Filtration der Kohomologie ein,deren Klassen mittleren Grades genau diejenigen mit harmonischem Repräsentantensind. Haller bewies, dass diese Filtration nur von der Poisson-Strukturabhängt und untersuchte sie als Invariante von allgemeinen Poisson-Mannigfaltigkeiten.Die vorliegende Arbeit gliedert sich wie folgt: Im ersten Kapitel befassenwir uns mit Grundlagen der Poisson-Geometrie und führen Brylinksis Kodifferentialsowie die harmonische Filtration ein. Kapitel zwei enthält Ergebnissezur Kompatibilität von Rechenmethoden der algebraischen Topologiemit dieser Filtration. Das dritte Kapitel beinhaltet einen Beweisvon Mathieus Kriterium und Hauptaussagen zur harmonischen Kohomologiesymplektischer Mannigfaltigkeiten. Kapitel fünf gibt einen kurzenÜberblick über Spektralsequenzen, ein nützliches Werkzeug in der Theoriefiltrierter Kettenkomplexe. Das Hauptresultat des fünften Kapitels istdie Tatsache, dass ein symplektisches Faserbündel die Brylinski-Vermutungerfüllt, wenn die Faser eine starke Form der Lefschetz-Eigenschaft hat.Zwei Beweise werden gegeben. Der erste vervollständigt eine Skizze vonHaller, der zweite, unseres Wissens nach neu, benutzt Spektralsequenzenund Morse-Theorie. Abschließend wird ein von Haller aufgeworfenes Obstruktions-Problem gelöst.

Zusammenfassung (Englisch)

This diploma thesis discusses a relatively new invariant of Poisson geometrycalled harmonic cohomology. J.-L. Brylinsky began the study of a codifferentialof the De Rham complex of a Poisson manifold. He conjecturedthat on a closed symplectic manifold, every cohomology class contains aharmonic, i.e. closed and coclosed, representant. This was disproven by O.Mathieu, who showed that Brylinski?s conjecture holds true only for Lefschetzmanifolds. Proving this criterion, Mathieu introduced a filtration oncohomology whose middle filtration space consists exactly of classes havingharmonic representants. S. Haller showed that this ?harmonic? filtrationdepends only on the Poisson structure and began to investigate the filtrationon general Poisson manifolds. It turned out that such powerful methods asMayer-Vietoris lose some of their strength when applied to the filtration.Still there are relevant cases in which some of the machinery works perfectlywell. The present thesis is organized as follows. In the first chapter,we recall some basics of Poisson geometry and introduce Brylinski?s codifferentialas well as the harmonic filtration. Chapter two focuses on thecompatibility of computational tools of topology with this filtration. Thethird chapter contains a proof of Mathieu?s criterion and the major resultson harmonic cohomology of symplectic manifolds. A counterexample toBrylinski?s conjecture is given. Chapter four is a short survey on spectralsequences, a powerful tool in the theory of filtered chain complexes. Themain result of chapter five is the fact that a symplectic fiber bundle satisfiesBrylinski?s conjecture if its fiber has a strong form of the Lefschetz property.Two proofs are given. One completes a sketch of Haller, the other one,new up to our knowledge, uses spectral sequences and Morse theory. Anobstruction problem raised by Haller is solved.