Bibliographic Metadata

Title
Eine Einführung in die Knotentheorie anhand von ausgewählten Ansätzen / vorgelegt von Marco Köchl
Additional Titles
An introduction to knot theory via selected approaches
AuthorKöchl, Marco
CensorLettl, Günter
PublishedGraz, 2017
Descriptioni, 68 Blätter : Zusammenfassungen (2 Blätter) ; Illustrationen, Diagramm
Institutional NoteKarl-Franzens-Universität Graz, Diplomarbeit, 2017
Annotation
Abweichender Titel laut Übersetzung des Verfassers/der Verfasserin
Zusammenfassungen in Deutsch und Englisch
LanguageGerman
Document typeThesis (Diplom)
Keywords (GND)Knotentheorie
URNurn:nbn:at:at-ubg:1-111538 Persistent Identifier (URN)
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Eine Einführung in die Knotentheorie anhand von ausgewählten Ansätzen [3.93 mb]
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Abstract (German)

In der Knotentheorie werden Knoten als mathematische Modelle geschlossener Seilschlingen aufgefasst. Diese werden unter anderem hinsichtlich ihrer Eigenschaften, Merkmale und Darstellungsformen untersucht. Das Ziel dieser Arbeit besteht darin, dieses Fachgebiet für Leute mit mathematischer Grundausbildung, jedoch ohne topologischen Vorkenntnissen zugänglich zu machen. Zu Beginn wird eine anschauliche Auffassung von Knoten vorgestellt, wonach zur mathematischen Definition derselben, sowie deren Darstellung in Knotendiagrammen, die mittels sogenannter Reidemeister-Bewegungen manipuliert werden können, übergeführt wird. Nach einem kurzen Einschub zu häufigen Zielen und Problemstellungen in der Knotentheorie, wo insbesondere auf das sogenannte Wiedererkennungsproblem von Knoten eingegangen wird, folgt eine Auswahl an verschiedenen Ansätzen, welche die Knotentheorie in ihrer Vielseitigkeit zur Geltung bringen soll. Der erste Ansatz führt zur Erkenntnis, dass alle Knoten auf eindeutige Weise in sogenannte Primknoten zerlegt werden können. Der zweite Ansatz (Färbungen und Etikettierungen) stellt eine Klasse von Knoteninvarianten, also Eigenschaften von Knoten, die nicht von der Darstellungsform abhängen, vor. Im Anschluss wird die sogenannte Dowker- Notation eingeführt, eine einfache und effektive Methode, um Knotendiagramme mit einem Tupel ganzer Zahlen zu beschreiben. Im zuletzt vorgestellten Ansatz werden Teile von Knoten, sogenannte rationale Gewirre, eingeführt und diesbezügliche Ergebnisse von John H. Conway vorgestellt. Mit Hilfe der einführenden Begriffe und den vorgestellten Ansätzen ist versucht worden, einen vielschichtigen Einblick in die Knotentheorie zu geben.

Abstract (English)

In knot theory a knot is understood as a mathematical model of a closed loop of string. Among others its objective is to examine properties, characteristics, and representations of knots. The aim of this paper is to present this scientific field to people with a basic education in mathematics but lacking topological prerequisites. After introducing the common understanding of knots, we mathematically define them as well as their representing knot diagrams, which can be manipulated by so-called Reidemeister moves. Following a brief discourse about the more frequent aims and problems of knot theory, such as the knot recognition problem in particular, a selected range of approaches is presented in order to illustrate the diversity of this mathematical field. First, the idea of prime knots shows that all knots can be uniquely factorized into prime ones. Second, colorings and labelings are presented as a set of knot invariants, meaning characteristics that are independent from the knots representation. Third, the so-called Dowker notation is introduced as a simple yet effective method to describe knot diagrams with the help of a tuple of integers. The final approach focuses on parts of knots, which are called rational tangles, and some results of John H. Conways study on this matter are presented. With the help of the basic notions and the aforementioned approaches, it was attempted to provide a diverse insight into the mathematical theory of knots.

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