Titelaufnahme

Titel
Asymptotic triangulations and cluster algebras / vorgelegt von Hannah Vogel, MSc
Verfasser/ VerfasserinVogel, Hannah Juliane
Begutachter / BegutachterinBaur, Karin
ErschienenGraz, 2016
Umfangxii, 100 Seiten : Illustrationen, Diagramme
HochschulschriftKarl-Franzens-Universität Graz, Dissertation, 2016
Anmerkung
Zusammenfassung in deutscher Sprache
SpracheEnglisch
Bibl. ReferenzOeBB
DokumenttypDissertation
Schlagwörter (GND)Cluster-Algebra / Dreiecksnetz
URNurn:nbn:at:at-ubg:1-104565 Persistent Identifier (URN)
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Asymptotic triangulations and cluster algebras [1.54 mb]
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Zusammenfassung (Deutsch)

Cluster Algebren wurden von Fomin und Zelevinsky etwa im Jahr 2000 eingefuehrt, motiviert durch Fragestellung in Lietheorie. Cluster Algebren sind kommutative Ringe mit einer ausgezeichneten Menge von Erzeugern. Dank ihrer besonderen kombinatorischen Struktur hat die Theorie der Cluster Algebren Anknuepfung zu zahlreichen anderen Gebieten in der Mathematik gefunden, wie etwa Triangulierungen von Flaechen, Teichmueller Theorie, Darstellungstheorie. Fock und Gonchorov, Fomin, Shapiro, und Thurston, sowie Gekhtman, Shapiro, und Vahnstein haben eine Verbindung zwichen Cluster Algebren und hyperbolischer Geometrie hergestellt. Jeder orientierten Riemannschen Flaeche mit Rand kann eine Cluster Algebra zugeordnet werden. Musiker, Schiffler, und Williams haben mittels perfekten Matchings in sogenannten Snake Graphen explizite kombinatorische Formeln fuer Cluster Variablen gegeben. Die Kurven in der Flaeche bestimmen daher die kombinatorische und algebraische Struktur der Cluster Algebra vollstaendig. In dieser Arbeit betrachten wir asymptotische Triangulierungen von Kreisringen und beschreiben ihre Cluster Struktur und untersuchen die zugehoerigen Koecher und ihre Mutationregeln (Kapitel 2), um dann die zugehoerigen Algebren zu betrachten (Kapitel 3). Mittels Lambda-Laengen und Laminierungen erhalten wir zu asymptotischen Triangulierungen Cluster Algebra-aehnliche Strukturen. Asymptotische Triangulierungen wurden von Baur, Parsons und Tschabold benutzt, um unendliche Friesmuster zu charakterisiern. In Kapitel 4 zeigen wir, wie diese Friesmuster als Cluster Algebren interpretiert werden koennen, indem wir ein unendliches Friesmuster konstruieren dessen Eintraege Laurent Polynome von Kurven sind. Mittels Snake Graphen und Skein Relationen gelingt es uns, algebraische und kombinatorische Resultate ueber Frieseintraege zu finden und geometrische Interpretationen von bekannten Resultaten ueber ganzzahlige unendliche Friesmuster zu finden.

Zusammenfassung (Englisch)

Cluster algebras were introduced by Fomin and Zelevinsky in early 2000 in the context of Lie theory. Cluster algebras are commutative rings with a set of distinguished generators. Due to their rich combinatorial structure, the theory of cluster algebras has spread to many other areas of mathematics, from triangulations of surfaces, to Teichmueller theory, to quiver representations. Fock and Gonchorov, Fomin, Shapiro, and Thurston, and Gekhtman, Shapiro, and Vahnstein established a relation between cluster algebras and hyperbolic geometry. Explicit combinatorial formulas for cluster variables in terms of perfect matchings of snake graphs were given by Musiker, Schiffler, and Williams. Thus the curves in the surface completely determine the combinatorial and algebraic structure of the cluster algebra. In this thesis, we consider asymptotic triangulations, and describe their cluster algebra structure. We start with asymptotic triangulations of the annulus, and consider the flips of arcs in the triangulations, their associated quivers and the mutation rules of these quivers (Chapter 2), and then look at their associated algebra (Chapter 3). Using lambda lengths and laminations, we get a cluster algebra-like structure with principle coefficients for asymptotic triangulations. Triangulations and asymptotic triangulations of the annulus were used to characterize infinite frieze patterns of integers by Baur, Parsons, and Tschabold. In Chapter 4, we give a cluster-algebraic interpretation of these infinite frieze patterns, by constructing an infinite frieze where the entries are Laurent polynomials of generalized arcs in the triangulated surface. Using snake graphs and skein relations, we achieve some algebraic and combinatorial results involving the relationships between entries in the frieze, and give geometric interpretations of known results for infinite friezes with integer entries.