Titelaufnahme

Titel
Algebraische Behandlungen einiger Grundaufgaben der ebenen Geometrie / Anna Wohlmuther
Weitere Titel
An algebraic examination of various basic tasks of plane geometry
Verfasser/ VerfasserinWohlmuther, Anna
Begutachter / BegutachterinSchwaiger, Jens
ErschienenGraz, 2016
Umfang75 Seiten : Zusammenfassungen (2 Blätter)
HochschulschriftKarl-Franzens-Universität Graz, Diplomarbeit, 2016
Anmerkung
Zusammenfassungen in Deutsch und Englisch
Abweichender Titel laut Übersetzung des Verfassers/der Verfasserin
SpracheDeutsch
DokumenttypDiplomarbeit
Schlagwörter (GND)Planimetrie / Lineare Algebra
URNurn:nbn:at:at-ubg:1-99867 Persistent Identifier (URN)
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Algebraische Behandlungen einiger Grundaufgaben der ebenen Geometrie [2.55 mb]
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Zusammenfassung (Deutsch)

In dieser Diplomarbeit werden Grundaufgaben und Grundkonstruktionen der ebenen Geometrie behandelt und durch Kenntnisse aus der linearen Algebra auf ihre Richtigkeit geprüft. Zu Anfang wird untersucht, woraus Konstruktionen in der Ebene bestehen und warum gewisse Beziehungen gelten. Dazu werden die Axiomensysteme Euklids und Hilberts vorgestellt. Euklid versuchte sich in seinem Sammelwerk Die Elemente erstmals an der deduktiven Methode und fasste bisher bekanntes elementargeometrisches Wissen zusammen. David Hilbert definierte die ebene Geometrie in seinem Buch Grundlagen der Geometrie schließlich über ein Axiomensystem, das vollständig ist und dem Anspruch der Widerspruchsfreiheit genügt.Da die reelle euklidische Ebene analytisch auch als Vektorraum mit Skalarprodukt aufgefasst werden kann, werden anschließend die wichtigsten Bausteine der linearen Algebra zusammengefasst, die für die späteren Beweise der Grundkonstruktionen benötigt werden.Schließlich werden elementare Konstruktionen und deren Anwendungen gezeigt, wobei als Konstruktionsmittel hauptsächlich nur Zirkel und Lineal erlaubt sind. Auch Fälle, in denen unzugängliche Punkte eine Rolle spielen, werden berücksichtigt. Die Konstruktionen sowie die benötigten mathematischen Sätze, denen die Konstruktionen zugrunde liegen, werden formuliert und bewiesen.Abschließend werden der Peripheriewinkelsatz und seine Umkehrung mit algebraischen Mitteln behandelt. Der Satz des Thales als Spezialfall des Peripheriewinkelsatzes ist in zuvor behandelten Aufgaben immer wieder von Bedeutung.

Zusammenfassung (Englisch)

This diploma thesis seeks to discuss and prove basic tasks and basic constructions of plane geometry by detailed knowledge of linear algebra. First of all, it is demonstrated what those constructions actually consist of and why certain relations are valid. Therefore, Euclids and Hilberts axiomatic systems are introduced. Euclid was the first mathematician to apply the deductive method. Additionally, he also collected the universe knowledge of geometry in his compilation The Elements. David Hilbert finally defined plane geometry via a system of axioms, which turned out to be complete and consistent, such as proven in his book The Foundations of Geometry.As the plane can also be understood as a vector space, the most important components of linear algebra are introduced. These components are necessary to proof the mentioned constructions in an analytic way throughout this thesis.Furthermore, basic constructions and their applications are presented by trying not to use tools except for compass and spacer. Even cases of inaccessible points are considered. The constructions, as well as the theorems, which are elementary for their realization, are formulated and established.Finally, the Inscribed Angle Theorem and its reversal are examined with algebraic methods. The Thales Theorem as a special case of the Inscribed Angle Theorem is also essential for some of the previously discussed tasks.

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