Die Zahlenbereichserweiterung von den natürlichen Zahlen zu den Bruchzahlen erfordert von den Schülern viele Vorstellungsumbrüche. Verfügt eine Lehrperson sowohl über grundlegende Kenntnisse in der Didaktik des Bruchrechnens, als auch über einen guten hochschulmathematischen Hintergrund des Bruchrechnens, kann sie die Schülerinnen und Schüler bei diesem Übergang entsprechend unterstützen. In der vorliegenden Arbeit werden diese beiden Bereiche gegenübergestellt, um einen Einblick in den jeweils spezifischen Zugang des Bruchrechnens zu geben.Im ersten Teil wird das Bruchrechnen in der Schule abgehandelt. Dabei werden die Begriffe Bruch und Bruchzahl definiert, vier Konzepte zur Behandlung der Bruchrechnung diskutiert und ein kompakter Überblick über Grundvorstellungen zu Bruchzahlen gegeben. Um entsprechende Grundvorstellungen zu den Bruchrechenoperationen entwickeln zu können, ist eine anschauliche Einführung mit variationsreichen Aufgaben notwendig. Daher werden vielfältige Zugangswege zur Bruchrechnung vorgestellt und auf mögliche Problembereiche aufmerksam gemacht. Wird der Einstieg in den neuen Zahlenbereich nicht ausreichend lange auf einer inhaltlich-anschaulichen Ebene bearbeitet, kann es zu Fehlvorstellungen bei den Schülerinnen und Schülern kommen.Im zweiten Teil wird die Bruchrechnung unter dem hochschulmathematischen Standpunkt betrachtet. Zunächst erfolgt dabei die genaue Konstruktion der rationalen Zahlen über den Integritätsbereich und anschließend wird die Anordnung und Abzählbarkeit der rationalen Zahlen analysiert.

Numerous students have difficulties when dealing with the extension of the natural numbers to the rational numbers. A teacher will be able to support students at this transition, if he or she has a fundamental knowledge of the didactics of fractions as well as a good mathematical background of fractions learned at university. To get an insight into the specific accesses to fractions, the present paper compares these two areas.The first part of the paper gives a disquisition of fractions in school by defining the term fraction, discussing four concepts of how to teach fractions and by giving an overall overview of the fundamental notions about fractions. A clear introduction with various exercises is necessary for the development of fundamental notions about arithmetical operations with fractions. Therefore this paper presents diverse approaches to fractions and draws attention to potential problem areas. If the new number system is introduced in a superficial way and too fast, students can develop false notions of fractions.In the second part of the paper fractions will be discussed in terms of university mathematics. It includes the construction of the rational numbers over the integral domain as well as the embedding of the natural numbers into the rational number system. Finally, the structure and countability of rational numbers will be analyzed.